威尼斯
2021
年硕士研究生入学统一考试
自命题科目考试大纲
命题单位：
威尼斯国际2299cc
考试科目代码：
705
考试科目名称：
数学分析
一、试卷满分及考试时间
试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟。
二、答题方式
答题方式为闭卷、笔试。
三、试卷内容结构
数学分析 100%。
四、试卷题型结构
试卷题型结构为：计算题 110 分；证明题 40 分。
五、考试内容知识点说明
（一）极限与连续
考试内容：
数列极限定义，收敛数列的性质，单调有界原理，柯西准则，函数极限概
念。函数极限性质。归结原理，柯西准则。两个重要极限，无穷小量，无穷大
量概念。无穷小量阶的比较。连续性概念。连续函数的局部性质。闭区间上连
续函数的性质。反函数连续函数。一致连续性，指数函数的连续性。初等函数
连续性。区间套定理，柯西准则，聚点定理，有限覆盖定理。
考试要求：
1.理解数列极限的定义，数列极限性质的原理及推导。单调有界原理，柯
西准则及应用。
2.掌握函数极限的定义，函数极限存在的归结原理。
3.理解连续性的定义及其证明，间断点及其分类。连续函数的局部性质，
闭区间上连续函数的性质。
4.了解区间套定理，柯西准则，聚点定理，有限覆盖定理原理及证明。闭
区间上的连续函数性质的原理及证明及应用。
5.熟练掌握数列极限定义证明，运算求极限。函数极限定义证明，运算求
极限。函数极限柯西准则及应用。两个重要极限的计算，无穷小量，无穷大量
概念，无穷小量阶的比较及应用。一致连续性及应用。
（二）一元函数微分学
考试内容：
导数概念，导函数，导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的导数，
求导法则与公式，微分概念，微分的运算法则，高阶导数与高阶微分，参数方
程的一阶及二阶导数。中值定理。不定式极限。泰勒公式。函数的单调性与极
值，函数的凸性，拐点。函数的图象讨论渐进线，作图。
考试要求：
1.理解和掌握导数概念，导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的导
数。求导法则与公式。微分概念，微分的运算法则。高阶导数与高阶微分。
参数方程的一阶及二阶导数。
2.理解和掌握费尔马定理，中值定理的原理及应用。
3.熟练计算未定式的极限。
4.熟练掌握泰勒公式，皮亚诺余项泰勒公式原理及应用，函数的单调性与
极值，函数的凸性，拐点。
（三）一元函数积分学
考试内容：
原函数与不定积分。换元积分及分部积分法。有理函数的积分，三角函数
的积分。定积分的定义，可积必要及充分条件，可积函数类。定积分的性质原
理，微积分基本定理，换元积分法，分部积分法。非正常积分的定义，性质，
判别准则。平面图形的面积，直角坐标，参数方程的计算公式。由截面面积求
立体体积。弧长的定义，弧长的积分公式。旋转曲面的面积。
考试要求：
1.理解和掌握不定积分的运算法则，换元积分，分部积分法，有理函数的
积分，三角函数的积分。定积分的定义，可积必要及充分条件，可积函数类。
2.熟练掌握定积分的性质原理，微积分基本定理，换元积分法，分部积分
法及应用。
3.掌握非正常积分的定义，性质，熟练掌握非正常积分判别准则。
4.熟练掌握平面图形的面积的计算。由截面面积求立体体积。曲线的弧长。
旋转曲面的面积。
（四）无穷级数
考试内容：
级数的收敛性及发散。正项级数及其收敛性。一般项级数及其收敛性。函
数列与函数项级数的一致收敛性及其判别法。幂级数的性质及其运算。函数的
幂级数展开。
考试要求
1.熟练掌握级数一般判别原则，比较及根式判别方法，积分判别方法原理
及使用。交错级数，绝对收敛，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法原理及应用。
2.熟练掌握函数列的一致收敛性，函数项级数的一致收敛性判别法原理及
应用。一致收敛性函数列及函数项级数分析性质原理及应用。
3.熟练掌握阿贝尔定理，幂级数收敛区间判别方法，幂级数的分析性质，
泰勒级数，幂级数的展开原理及应用。
（五）多元函数微分学
考试内容：
平面点集，完备性定理，函数概念，二元函数的极限，累次极限。连续性
概念，闭域连续性的性质。可微性，全微分，偏导数，可微性条件。复合函数
的求导法则，复合函数的全微分。方向导数与梯度。泰勒公式与极值，中值定
理和泰勒公式，极值问题。隐函数定理，隐函数组定理，隐函数求导。曲线切
线和发平面，曲面的法平面与切线。
考试要求：
1.了解平面点集，函数概念，完备性定理。
2.熟练掌握二元函数的极限的计算，累次极限的计算。
3.理解连续性概念，闭域连续性的性质及应用。
4.掌握可微性，全微分，偏导数，可微性条件概念。
5.熟练掌握复合函数的求导法则，复合函数的全微分。
6.理解方向导数与梯度概念。熟练掌握：高阶偏导数，中值定理和泰勒公
式， 极值的充分及必要条件原理及应用。
7.熟练掌握隐函数，隐函数组的求导原理及应用。
8.熟练掌握曲线切线和发平面，曲面的法平面与切线。
（六）多元函数积分学
考试内容：
二，三重积分概念，重积分可积条件。累次积分，换元积分，参量积分求
导。曲面面积，重心，转动惯量，引力。含参变量非正常积分判别方法，分析
性质。欧拉积分概念及性质。第一型曲线积分与第一型曲面积分概念，计算公
式。第二型曲线积分概念，计算公式。格林公式，曲线积分与路径无关。第二
型曲面的侧概念，计算公式。高斯公式及原理，斯托克斯公式及原理。
1.理解二重积分概念，二重积分可积条件。三重积分概念。曲面面积，重
心，转动惯量，引力。第一型曲线积分与第一型曲面积分概念。第二型曲线积
分概念。
2.熟练掌握二重积分的计算：累次积分，换元积分，参量积分求导。三重
积分累次积分，换元积分的计算。
3.理解和掌握：含参变量非正常积分判别方法，分析性质。欧拉积分概念
及性质。
4.熟练掌握第一型曲线积分与第一型曲面积分计算公式，第二型曲线积分
计算公式，第二型曲面积分计算公式。格林公式，路径无关定理。高斯公式及
原理，斯托克斯公式及原理。
六、参考资料
1.华东师范大学数学系编.数学分析（第五版）.高等教育出版社，2019.
2.菲赫金哥尔茨.微积分学教程（第八版）.高等教育出版社，2006.
